La démonstration de Charles Seife

(actualisé le ) par Nicolas RAGOT & Nadège GIGAN

La démonstration de Charles Seife montre que le « paradoxe » peut être généré par d’autres problèmes conceptuels que celui de la spatialisation du temps (et qui faisait écho de Bergson [*] jusque dans les cours d’aïkido où l’erreur d’approche, ce trop usitée séquençage des gestes, ce manifesté trop souvent. Ces gestes devenus alors morts car ne pouvant vivre que dans la durée ils ne supportent pas la division que lui imposent trop de « pratiquants » (j’appose les guillemets car finalement que pratiquent ils ?)

Mr Seife nous dit que ce sont les concepts de ZERO et d’INFINI qui manquaient au grec … c’est ce qui leur rendaient impossible la résolution du problème … ils auraient dissolu le paradoxe s’ils avaient pu concevoir ces outils mais les résistances philosophiques ne le leur permirent pas .
( il faut alors méditer sur notre pratique d’aiki : en effet, je vois bien les uns et les autres manipuler les idées de l’unicité, de la dualité et autres symboles et mouvement liés aux chiffres.
En revanche, une méditation, une pratique laissant plus de place aux concepts de vide , du zéro et de l’infini (des infinis) ; voilà qui se fait rare si l’on exclu les verbiages et autres fariboles dont certains auraient la décences de faire nous grâce s’il avaient gardé un tant soit peu le sens du ridicule).

Les énigmes de Zénon empoisonnèrent les mathématiciens pendant presque deux mille ans.
Dans son plus fameux exemple, Achille, Zenon prouve que le rapide Achille ne peut jamais se saisir de la lente tortue partie avec une tête d’avance sur lui. Pour rendre les choses plus concrètes, posons le problème en quelques chiffres. Imaginons qu’Achille court à la vitesse d’un pied/seconde, et la tortue moitié moins vite. Décidons que la tortue part avec un pied d’avance sur Achille.
Achille court, et en une seconde il a atteint l’endroit où se trouvait la tortue. Mais en même temps la tortue a avancé elle aussi, d’un demi-pied. Peu importe. Achille est plus rapide, aussi en une demi-seconde franchit-il le demi-pied. Mais, à nouveau, la tortue a avancé, d’un quart de pied cette fois. En un instant - un quart de seconde -, Achille parcourt cette distance. Mais la tortue s’est traînée en même temps un huitième de pied plus loin, aussi proche qu’Achille soit de la tortue, à chaque fois qu’il atteint le point où elle était, elle a avancé. Un huitième de pied... un seizième de pied... un trente-deuxième de pied, jamais Achille ne l’attrape. La tortue est toujours devant (figure 10).
Tout le monde sait que, dans le monde réel, Achille dépassera vite la tortue, mais la démonstration de Zénon semble prouver qu’Achille ne peut jamais l’attraper. Les philosophes de l’époque furent incapables de réfuter le paradoxe. Même s’ils savaient que la conclusion était fausse, ils ne purent trouver une erreur dans la démonstration de Zénon. La principale arme des philosophes était la logique, mais une déduction logique se révélait impuissante devant l’exposé de Zénon. Chaque étape semblait inattaquable, et lorsque toutes les étapes sont justes, comment la conclusion peut-elle être fausse ?
Les Grecs séchèrent sur le problème, mais ils trouvèrent la source de leur échec : l’infinité. C’est l’infinité qui est au cœur du paradoxe de Zénon : Zénon a imaginé un mouvement continu et l’a découpé en une infinité de minuscules phases. A cause de cette infinité de pas, les Grecs supposaient que la course durait toujours, même si les pas devenaient de plus en plus petits. La course ne finissait pas dans un temps fini - du moins le pensaient-ils. L’Antiquité n’avait pas les outils pour se confronter à l’infinité, mais les mathématiciens modernes ont appris à la maîtriser. L’infini est délicat à approcher, mais il peut être dominé avec l’aide du zéro. Avec 2 400 ans de plus d’études mathématiques, ce n’est pas difficile pour nous de trouver le talon d’Achille de Zénon.
Les Grecs n’avaient pas le zéro mais nous si, et c’est la clé de la solution de l’énigme de Zénon. Il est parfois possible d’additionner une infinité de termes pour obtenir un résultat fini - mais pour ce faire, les termes additionnés doivent tendre vers zéro [1].
C’est le cas pour Achille et la tortue. Lorsque vous additionnez la distance parcourue par Achille, vous commencez par le chiffre 1, puis vous ajoutez 1/2, puis 1/4, puis 1/8 et ainsi de suite, avec des termes devenant de plus en plus petits, s’approchant de plus en plus de zéro ; chaque terme est comme un pas dans un voyage dont la destination serait zéro. Evidemment, les Grecs qui rejetaient le nombre zéro ne pouvaient comprendre que ce voyage avait une fin. Pour eux, les nombres 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 et ainsi de suite n’approchaient de rien : la destination n’existait pas. Ils voyaient simplement les termes devenir de plus en plus petits, s’évadant peu à peu du royaume des nombres.
Les mathématiciens modernes savent que les termes ont une limite ; 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, et la suite, se rapprochent de zéro qui constitue la limite. Le voyage a une destination. A partir du moment où le voyage a une destination, il devient facile de demander de combien elle est éloignée, et combien de temps il faudra pour l’atteindre. Il n’est pas si difficile d’additionner les distances parcourues par Achille : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2n + ... Alors que les pas d’Achille sont de plus en plus petits, et de plus en plus proches du zéro, la somme de ces pas se rapproche de 2. Comment le savons-nous ? Partons donc de 2 et soustrayons les termes de la somme un par un. Nous commençons par 2 - 1, ce qui donne, évidemment, 1. Ensuite nous soustrayons 1/2, il reste 1/2. Ensuite, enlevons le terme suivant -1/4, reste 1/4. Soustraire 1/8 donne un reste 1/8. Nous sommes revenus à notre enchaînement. Nous savons déjà que 1, 1/2, 1/4, 1/8 et la suite ont zéro comme limite ; aussi, lorsque nous supprimons ces termes de 2, il n’y a pas de reste. La limite de la somme 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... est 2. Achille parcourt une distance de deux pieds pour rattraper la tortue, même si cela lui demande une infinité de pas. Mieux encore, voyons quel temps il faut à Achille pour rattraper la tortue : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2 secondes. Non content de faire une infinité de pas pour couvrir une distance finie, Achille met seulement deux secondes pour y parvenir.
Les Grecs ne pouvaient pas effectuer ce petit tour mathématique. Ils n’avaient pas la notion de limite puisqu’ils ne croyaient pas au zéro. Les termes de séries infinies n’avaient ni limite, ni destination ; ils semblaient devenir de plus en plus petits sans qu’il y ait à la fin un but particulier. Résultat, les Grecs ne pouvaient manier l’infinité. Ils méditaient sur le concept du vide, mais refusaient le zéro en tant que nombre et ils jouaient avec le concept de l’infinitude mais réfutaient l’existence de l’infinité - des nombres infiniment petits ou infiniment grands - dans le royaume des nombres. Là réside le gros point faible des mathématiques grecques, et le seul qui les ait empêchés de découvrir le calcul infinitésimal.
L’infini, le zéro et le concept des limites sont tous trois liés. Les philosophes grecs furent incapables de dénouer ce lien, ils étaient mal armés pour résoudre l’énigme de Zénon. Le paradoxe de Zénon était si fort que les Grecs s’employèrent désespérément à aller au bout de son infinité. Ils étaient condamnés à l’échec, car les bons outils leur manquaient.

Zéro
La biographie d’une idée dangereuse

Charles Seife

Voir en ligne : Paradoxe d’Achille et de la tortue

Notes

[1C’est une condition nécessaire mais pas suffisante. Si les termes s’approchent de zéro trop lentement, la somme des termes ne converge pas vers un nombre infini.